设是椭圆上一点，和分别是点M与点的距离。求证，其中e是离心率。

椭圆上任一点M与焦点F1或F2的距离，叫做椭圆的焦半径，也称为左焦半径，为右焦半径。

解法1：由椭圆的定义有：

故只要设法用等表示出（或），问题就可迎刃而解。

由题意知，

两式相减得

联立<1>、<2>解得：

解法2：设焦点

则，即

另有

<2>÷<1>得：

<1>、<3>联立解得：

解法3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。

由点M在椭圆上，易知

则

由，知

故

同理

解法4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点

则

即

同理可求得：

例1、在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。

解析：设所求点

由得：

又

即

解得：

代入椭圆方程得：

故所求点M为（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。

例2、点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积。

解析：设点P的横坐标为x，

由条件，得：

依题意得：

所以

由得：

故

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