第6讲   函数与方程

一．【课标要求】

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．【命题走向】

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关

三．【要点精讲】

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

二次函数的零点：

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间，，验证·，给定精度；

（2）求区间，的中点；

（3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若·<，则令=（此时零点）；

③若·<，则令=（此时零点）；

（4）判断是否达到精度；

即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax²+bx+c；y=a(x－x₁)(x－x₂)；y=a(x－x₀)²+n。

（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x₀= (p+q)。

若－<p，则f(p)=m，f(q)=M；

若p≤－<x₀，则f(－)=m，f(q)=M；

若x₀≤－<q，则f(p)=M，f(－)=m；

若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

（3）二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；

②二次方程f(x)=0的两根都大于r 

③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根

④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。

四．【典例解析】

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（   ）

A．(0，1)          B．(1，2)           C．(2，3)          D．(3，+∞)

（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。

解析：

（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。

（2）原方程等价于

即

构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：

①当或时，原方程有一解；

②当时，原方程有两解；

③当或时，原方程无解

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例2．（2008湖南理17）

已知函数.

（I）求函数的最小正周期；

（II）当且时，求的值

解：由题设有．

（I）函数的最小正周期是

（II）由得即

     因为,所以

从而

于是

   

题型2：零点存在性定理

例3．设函数，其中常数为整数。

（1）当为何值时，；

（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得

试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。

解析：（1）函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且

当x∈(－m,1－m)时,f ^’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m)

当x∈(1－m, +∞)时,f ^’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m)

根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且

对x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m

故当整数m≤1时，f(x) ≥1－m≥0

(2)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0,

函数f(x)=x－ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的

而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的

故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根

点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。

例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ）

A．若，不存在实数使得；

B．若，存在且只存在一个实数使得；

C．若，有可能存在实数使得；  

D．若，有可能不存在实数使得；

解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”

点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。

题型3：二分法的概念

例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）

A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；

C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点；

D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；

解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。

点评：该题深入解析了二分法的思想方法

1.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是

A.              B.       

C.             D.

答案  A

解析  的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。

题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例7．借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。

解析：原方程即。

令，

用计算器做出如下对应值表

x

－2

－1

0

1

2

f(x)

2.5820

3.0530

27918

1.0794

－4.6974

观察上表，可知零点在（1，2）内

取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；

再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；

同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；

由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。

点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。

例8．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）。

分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

略解：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点。

点评：①第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下：

零点所在区间

中点函数值

区间长度

[1，2]

>0

1

[1，1.5]

<0

0.5

[1.25，1.5]

<0

0.25

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。

题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点

例9．　设二次函数，方程的两个根满足.  当时，证明。

证明：由题意可知，

,

∴ ,

∴  当时，。

又,

   

∴  ,

综上可知，所给问题获证。

点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式

例10．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；

（2）如果，，求的取值范围.

解析：设，则的二根为和。

（1）由及，可得  ，即，

即

两式相加得，所以，；

（2）由, 可得  。

又，所以同号

∴ ，等价于

或,

即   或

解之得  或。

点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化

题型6：一元二次函数与一元二次不等式

例11．设，若，，, 试证明：对于任意，有。

解析：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 当时，

当时，

综上，问题获证。

点评：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用来表示。

例12．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有

解析：由题意知：，

∴ ，

∴ 。

由时，有，可得 。

∴  ,

。

    （1）若，则在上单调，故当时，

∴  此时问题获证.

（2）若，则当时，                 

又，

∴  此时问题获证。

综上可知：当时，有。

点评：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。

要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。

题型7：二次函数的图像与性质

例13．（2009福建省）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5％,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?

解  设重组后,该企业年利润为y万元.

∵2000×1%=20,∴当0<x≤20且x∈N时,

y=(2000-x)(3.5+1-)-0.5x=-5(x+)+9000.81.

∵x≤2000×5%   ∴x≤100,∴当20<x≤100且x∈N时,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. 

∴  

当0<x≤20时,有

y=-5(x+)+9000.81≤-5×2+9000.81=8820.81,

当且仅当x=,即x=18时取等号,此时y取得最大值.

当20<x≤100时,函数y=-4.9595x+8919为减函数,

所以y<-4.9595×20+8919=8819.81.

综上所述x=18时,y有最大值8820.81万元.

即要使企业年利润最大,应安排18名员工待岗.

 

 

例14（2008陕西，理17）

（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想

题型8：二次函数的综合问题

例15．（2008湖南文17）

17．已知函数.

（I）求函数的最小正周期；

（II）当且时，求的值。

解：由题设有．

（I）函数的最小正周期是

（II）由得即

     因为,所以

从而

于是

    

 

点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力

例16．已知函数。

（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；

（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；

（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围

解析：(1)

(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以

        ，

于是      

即       

（3）。

设，则。

问题转化为：对恒成立.  即

          对恒成立.     （*）

故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，

解之得：。

此时，，故在取得最小值满足条件

 

点评：紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力。

五．【思维总结】

1．函数零点的求法：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质

（1）二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数

（2）数形结合：二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得

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